Как сделать пифагоровы штаны

Как сделать пифагоровы штаны

Пифагоровы штаны на все стороны равны

Шпаргалки для юных математиков

Это язвительное замечание (которое в полном виде имеет продолжение: чтобы это доказать, нужно снять и показать), придуманное кем-то, по-видимому, потрясенным внутренним содержанием одной важной теоремы евклидовой геометрии, как нельзя точно раскрывает отправную точку, из которой цепь совсем несложных размышлений быстро приводит к доказательству теоремы, а также к еще более значимым результатам. Теорема эта, приписываемая древнегреческому математику Пифагору Самосскому (6 век до нашей эры), известна чуть ли не каждому школьнику и звучит так: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

Пожалуй, многие согласятся, что геометрическая фигура, обозванная шифровкой "пифагоровы штаны на все стороны равны", называется квадратом. Ну и с улыбкой на лице добавим безобидной шутки ради, что имелось в виду в продолжении шифрованного сарказма. Итак, "чтобы это доказать, нужно снять и показать". Ясно, что "это" - под местоимением подразумевалась непосредственно теорема, "снять" - это получить в руки, взять названную фигуру, "показать" - имелось в виду слово "покасать", привести в соприкосновение какие-то части фигуры. Вообще "пифагоровыми штанами" окрестили напоминавшую по виду штаны графическую конструкцию, получавшуюся на чертеже Евклида при весьма сложном доказательстве им теоремы Пифагора. Когда нашлось доказательство проще, быть может, какой-то рифмоплет сочинил эту скороговорку-подсказку, чтобы не запамятовать начало подхода к доказательству, а народная молва уж разнесла ее по свету как пустую поговорку.

Так вот если взять квадрат, и внутрь него поместить меньший квадрат так, чтобы центры их совпадали, и повернуть притом меньший квадрат до соприкосновения его углов со сторонами большего квадрата, то на большей фигуре окажутся выделены сторонами меньшего квадрата 4 одинаковых прямоугольных треугольника.

Отсюда уже лежит прямой путь к доказательству известной теоремы. Пусть сторону меньшего квадрата обозначим через c. Сторона большего квадрата равна a+b, и тогда его площадь равна (a+b)2=a2+2ab+b2. Ту же площадь можно определить как сумму площади меньшего квадрата и площадей 4 одинаковых прямоугольных треугольников, то есть как 4·ab/2+c2=2ab+c2. Поставим знак равенства между двумя вычислениями одной и той же площади: a2+2ab+b2=2ab+c2. После сокращения членов 2ab получаем вывод: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов, то есть a2+b2=c2.

Слово о числе пифагоровом

Сразу не каждый поймет, какой прок от этой теоремы. С практической точки зрения ее ценность состоит в служении базисом для многих геометрических вычислений, как например определения расстояния между точками координатной плоскости. Из теоремы выводятся некоторые ценные формулы, ее обобщения ведут к новым теоремам, перекидывающим мостик от вычислений на плоскости до вычислений в пространстве. Следствия теоремы проникают в теорию чисел, открывая отдельные подробности структуры ряда чисел. И многое другое, всего не перечислишь.

Взгляд с точки зрения праздного любопытства демонстрирует преподношение теоремой занимательных задачек, формулируемых до крайности понятно, но являющихся подчас крепкими орешками. В пример достаточно привести наиболее простую из них, так называемый вопрос о пифагоровых числах, задаваемую в бытовом изложении следующим образом: можно ли построить комнату, длина, ширина и диагональ на полу которой одновременно измерялись бы только целыми величинами, скажем шагами? Всего лишь малейшее изменение этого вопроса способно сделать задачу чрезвычайно сложной. И соответственно, найдутся желающие чисто из научного задора испытать себя в раскалывании очередного математического ребуса. Другое изменение вопроса - и еще одна головоломка. Часто в ходе поиска ответов на подобные проблемы математика эволюционирует, приобретает свежие взгляды на старые понятия, обзаводится новыми системными подходами и так далее, а значит теорема Пифагора, впрочем как и любое другое стоящее учение, с этой точки зрения имеет не меньшую пользу.

Коль уж речь зашла о вопросе пифагоровых чисел - троек натуральных (целых положительных) чисел, удовлетворяющих решению пифагорова уравнения a2+b2=c2, - необходимо отметить, что задача эта была решена самими пифагорейцами, причем их решение позволяло отыскивать все тройки взаимно простых (то есть не имеющих общих делителей) пифагоровых чисел по формулам: a=m2-n2, b=2mn, c=m2+n2, где m и n - натуральные числа разной четности и с условием m>n (чтобы не иметь отрицательного или нулевого значения a). Для примера найдем первую тройку при m=2 и n=1: a=22-12=3, b=2·2·1=4, c=22+12=5, следовательно 32+42=52.

Математика времен Пифагора не признавала иных чисел, кроме рациональных (натуральных чисел или дробей с натуральным числителем и знаменателем). Все измерялось целыми величинами или частями целых. Потому так понятно стремление делать геометрические вычисления, решать уравнения все больше в натуральных числах. Пристрастие к ним открывает путь в невероятный мир таинства чисел, ряд которых в геометрической интерпретации первоначально вырисовывается как прямая линия с бесконечным множеством отметин. Иногда зависимость между какими-то числами ряда, "линейным расстоянием" между ними, пропорцией тотчас бросается в глаза, а иной раз самые сложные мыслительные конструкции не позволяют установить, каким закономерностям подчинено распределение тех или иных чисел. Выясняется, что и в новом мире, в этой "одномерной геометрии", старые задачи сохраняют силу, меняется лишь их постановка. Как например, вариант задания о пифагоровых числах: "От дома отец делает x шагов по x сантиметров каждый, а затем идет еще y шагов по y сантиметров. За ним шагает сын z шагов по z сантиметров каждый. Какими должны быть размеры их шагов, чтобы на z-том шаге ребенок вступил в след отца?"

Пифагору, да и пифагорейцам в целом, приписывают изучение свойств целых чисел. Вряд ли это было иначе, хотя бы уж потому, что вывод формул поиска пифагоровых троек требует как минимум маломальского представления о целых числах. Верно и обратное: получение этих формул дает понимание связей между квадратами натуральных чисел. Во всяком случае, если некое число представить суммой натуральных чисел m+n, то его квадрат отличается от суммы квадратов m2+n2 на величину 2mn. Однако последняя сумма может и не быть квадратом числа. А вот возведенная в квадрат, точно будет: (m2+n2)2. Величина 2mn может вообще не быть квадратом числа, но только не возведенная в квадрат: (2mn)2. В свою очередь квадрат другого числа, представленного разницей m-n, отличается от суммы m2+n2 снова на величину 2mn. Следовательно, произведение исходных чисел, то есть (m+n)(m-n)=m2-n2, опять может не оказаться квадратом числа. Но таковым неизбежно окажется возведенное в квадрат: (m2-n2)2. В конце концов получается (m2-n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2, что и составляет полную формулу целочисленного решения пифагорова уравнения.

Сложно ли теперь сообразить, что квадрат суммы квадратов представим суммой квадратов? Или что квадрат разницы квадратов - разницей квадратов. Или что квадрат произведения - разницей квадратов суммы квадратов и разницы квадратов. В отношении последнего утверждения вспомните формулу преобразования произведения: ab=(a+b)2/22-(a-b)2/22 и сравните, сколь общего у нее с формулой (2mn)2=(m2+n2)2-(m2-n2)2. На самом деле из теоремы Пифагора косвенно или напрямую вытекает слишком много важных математических утверждений, рассказывать о чем можно очень долго.

По затерявшимся стопам древних математиков

Справедливости ради полагается отметить некоторую сложность для начинающего математика пифагорейской методики развития мысли. Это особого рода стиль математического мышления, к нему нужно привыкать. Интересен один момент. Математики вавилонского государства (оно возникло задолго до рождения Пифагора, почти полторы тысячи лет до него) тоже, видимо, знали какие-то методы поиска чисел, которые впоследствии стали называться пифагоровыми. Были найдены клинописные таблички, где вавилонские мудрецы записали выявленные ими тройки таких чисел. Некоторые тройки состояли из чересчур больших чисел, в связи с чем наши современники стали предполагать наличие у вавилонян недурственных, и вероятно даже немудреных, способов их вычисления. К сожалению, ни о самих способах, ни об их существовании ничего не известно.

Если вам не чужд дух исследовательских приключений, есть предложение мысленно ступить на запыленные в глубине веков научные тропинки и поискать этот артефакт древних времен, или простым языком выражаясь, ответить на вопрос, могли ли в Вавилоне в принципе иметь иную схему вычислений, возможно более легче пифагорейской (для последней требуется: 2 возведения в квадрат, 2 умножения, сложение и вычитание).

Итак, сперва вообразим, будто когда-то в прошлом был задан вопрос сродни следующей современной постановке: на сколько отличаются квадраты соседних натуральных чисел? Скорее всего вавилоняне смогли бы ответить, что эти квадраты отличаются на величину (a+1)2-a2=a2+2a+1-a2=2a+1. Число 2a+1 есть число нечетное, а среди нечетных чисел существует бесконечное множество квадратов чисел. Следовательно, обязательно найдется такое a, при котором 2a+1=b2. Какой-нибудь пример: a=12, 2·12+1=52. Таким образом, уравнение a2+b2=(a+1)2 имеет нескончаемое множество решений в натуральных числах.

Разумеется, поиск подобных решений предельно прост, и для распространенной записи a2+b2=c2 выполняется по следующим формулам: b есть произвольное нечетное число, большее единицы, a=(b2-1)/2, c=a+1.

Например, хотим чтобы b=31, тогда a=(312-1)/2=(961-1)/2=480, c=480+1=481. Вот оно решение: 4802+312=4812. Если же захотим числа побольше, допустим b=123456789, тогда a=(1234567892-1)/2=7620789375095260, c=7620789375095260+1=7620789375095261. Вот и это решение: 76207893750952602+1234567892=76207893750952612.

Вообразим теперь, будто вавилоняне пошли дальше и задали себе нечто в таком духе: какова разница между квадратами несмежных натуральных чисел? Очевидно, (a+n)2-a2=a2+2an+n2-a2=2an+n2=n(2a+n). Для выражения в скобках, способного описать всякое большее n и одинаковое с ним четностью число, опять найдутся такие a и n, при которых умножение внутрискобочного числа на n даст квадрат. Какой-нибудь пример: a=8, n=9, 9·(2·8+9)=152. Поэтому уравнение a2+b2=(a+n)2 тоже обладает бесчисленным множеством целочисленных решений.

Укажем формулы поиска таких решений опять же для распространенной записи a2+b2=c2: b=nm (из соображений b2=n(2a+n)=n2m2, если принять 2a+n=nm2), a=n(m2-1)/2, c=a+n. Непременное условие: 0<n<m и четность m и n совпадает.

Например, хотим чтобы n=3 и m=5, тогда b=3·5=15, a=3·(52-1)/2=36, c=36+3=39. Вот решение: 362+152=392. Пример с большими числами: хотим чтобы n=123 и m=567, тогда b=123·567=69741, a=123·(5672-1)/2=19771512, c=19771512+123=19771635. Вот решение: 197715122+697412=197716352.

В общем, находить пифагоровы числа можно не только пифагорейским способом. С этим вопросом закончили. Напоследок хочется отметить пару выводов, какие следует из числа b=nm с указанными условиями на числа m и n. Во-первых, наименьшее возможное целочисленное решение пифагорова уравнения не имеет смысла искать при b<3, так как 3 - наименьшее число, которое можно представить произведением разных чисел одинаковой четности. Во-вторых, если b простое число (не разлагаемое в произведение простых множителей), то здесь всегда c=a+1, ведь в этом случае n=1 и m=b. Однако это вовсе не означает, что во всяком целочисленном решении уравнения a2+b2=(a+1)2 число b будет простым, ибо составное число тоже представимо произведением единицы на само число (то есть когда n=1 и m=b).

Дмитрий Сахань, 23 июля 2006 года

faber cubia лучший бренд
Как сделать пифагоровы штаны 651
Как сделать пифагоровы штаны 582
Вопрос
Как сделать пифагоровы штаны 55
АП Деловые бумаги delbumagi) Twitter
Как сделать пифагоровы штаны 53
Как сделать пифагоровы штаны 4
Как сделать пифагоровы штаны 82
Как сделать пифагоровы штаны 56
Как сделать пифагоровы штаны 90
Как сделать пифагоровы штаны 60
Как сделать пифагоровы штаны 72
Как сделать пифагоровы штаны 43
Как сделать пифагоровы штаны 25
Как сделать пифагоровы штаны 19