Как сделать равносторонний треугольник из круга

Как сделать равносторонний треугольник из круга

Окружность, вписанная в правильный треугольник, помимо свойств вписанной в произвольный треугольник окружности, обладает своими собственными свойствами.

1) Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

Поскольку в равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают, то центр вписанной в правильный треугольник окружности является точкой пересечения не только его биссектрис, но также медиан и высот.

okruzhnost-vpisannaya-v-pravilnyj-treugolnikНапример, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a

точка O — центр вписанной окружности.

AK, BF и CD — биссектрисы, медианы и высоты треугольника ABC.

    \[AK \cap BF = O,\]

    \[AK \cap CD = O.\]

2) Расстояние от центра вписанной окружности до точки касания её со стороной треугольника равно радиусу. Так как центр вписанной в правильный треугольник окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен одной третьей длины медианы:

    \[OF = \frac{1}{3}BF,\]

    \[r = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]

Таким образом, формула для радиуса вписанной в правильный треугольник окружности

    \[r = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]

Обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

    \[a = \frac{{6r}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{6r \cdot \sqrt 3 }}{{\sqrt {3 \cdot } \sqrt 3 }} = \frac{{6r \cdot \sqrt 3 }}{3} = 2r\sqrt 3 .\]

3) Так как формула для нахождения площади равностороннего треугольника через сторону

    \[S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4},\]

можем найти площадь через r:

    \[S = \frac{{{{(2r\sqrt 3 )}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = \frac{{4{r^2} \cdot 3 \cdot \sqrt 3 }}{4} = 3\sqrt 3 {r^2}.\]

Таким образом, формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности —

    \[S = 3\sqrt 3 {r^2}.\]

3) Все отрезки, на которые стороны равностороннего треугольника делятся точками касания вписанной окружности, равны половине его стороны:

    \[AD = BD = BK = CK = CF = AF = \frac{a}{2}.\]

4) Центр вписанной в правильный треугольник окружности является также центром описанной около него окружности.

5) Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

    \[OF = r,BO = R,\]

    \[\left. \begin{array}{l} OF = r,BO = R\ OF = \frac{1}{3}BF,BO = \frac{2}{3}BF \end{array} \right\} \Rightarrow r = \frac{1}{2}R.\]

Как сделать равносторонний треугольник из круга
Как сделать равносторонний треугольник из круга

Ажурная мохеровая шаль Как сделать равносторонний треугольник из круга
Ажурная мохеровая шаль Как сделать равносторонний треугольник из круга

Акустические полки Тюнинг-Дизайн Как сделать равносторонний треугольник из круга
Акустические полки Тюнинг-Дизайн Как сделать равносторонний треугольник из круга

Аэропорт КОЛЬЦОВО - Об Аэропорте - Пресс-центр Как сделать равносторонний треугольник из круга
Аэропорт КОЛЬЦОВО - Об Аэропорте - Пресс-центр Как сделать равносторонний треугольник из круга

Как сделать равносторонний треугольник из круга Выбираем подарки мужчинам на 23 февраля - что подарить
Как сделать равносторонний треугольник из круга Выбираем подарки мужчинам на 23 февраля - что подарить

Как сделать равносторонний треугольник из круга Выбирать хурму: польза хурмы, как правильно выбрать
Как сделать равносторонний треугольник из круга Выбирать хурму: польза хурмы, как правильно выбрать

Как сделать равносторонний треугольник из круга Вязание аксессуаров: Вязание на
Как сделать равносторонний треугольник из круга Вязание аксессуаров: Вязание на